要计算 $\sin 15^\circ$ 的值，可以使用半角公式：
$$ \sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} $$
我们设 $\theta = 30^\circ$，则：
$$ \sin \frac{30^\circ}{2} = \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} $$
已知 $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入公式：
$$ \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} $$
或者，可以进一步化简为小数形式：
$$ \sin 15^\circ \approx 0.2588 $$
最终
$$ \boxed{\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}} \quad \text{或} \quad \boxed{\sin 15^\circ \approx 0.2588} $$