我们来比较 $ 3^{21} $ 和 $ 2^{31} $ 的大小。
第一步：取对数比较
为了比较两个数的大小，可以取自然对数（或常用对数）：
$$ \log(3^{21}) = 21 \log 3 \approx 21 \times 0.4771 = 10.0191 $$
$$ \log(2^{31}) = 31 \log 2 \approx 31 \times 0.3010 = 9.3310 $$
因为 $ \log(3^{21}) > \log(2^{31}) $，所以：
$$ 3^{21} > 2^{31} $$
第二步：用近似值验证
我们也可以用近似值计算：
$$ 3^{21} \approx 10^{10.0191} \approx 10^{10} \times 10^{0.0191} \approx 10^{10} \times 1.047 \approx 1.047 \times 10^{10} $$
$$ 2^{31} \approx 2^{10} \times 2^{21} = 1024 \times 2^{21} \approx 1024 \times 2,097,152 \approx 2.147 \times 10^9 $$
显然：
$$ 3^{21} \approx 1.047 \times 10^{10} > 2^{31} \approx 2.147 \times 10^9 $$
✅ 最终结论：
$$ \boxed{3^{21} > 2^{31}} $$