集合间的基本运算主要包括以下几种：
一、并集（Union）
定义：
设 $ A $ 和 $ B $ 是两个集合，$ A \cup B $ 表示所有属于 $ A $ 或属于 $ B $ 的元素组成的集合。
符号：
$$
A \cup B = { x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B }
$$
性质：
- $ A \cup A = A $
- $ A \cup \emptyset = A $
- $ A \cup B = B \cup A $
- $ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C $
二、交集（Intersection）
定义：
设 $ A $ 和 $ B $ 是两个集合，$ A \cap B $ 表示所有同时属于 $ A $ 和 $ B $ 的元素组成的集合。
符号：
$$
A \cap B = { x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B }
$$
性质：
- $ A \cap A = A $
- $ A \cap \emptyset = \emptyset $
- $ A \cap B = B \cap A $
- $ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C $
三、补集（Complement）
定义：
设 $ U $ 是全集，$ A $ 是 $ U $ 中的一个子集，$ A^c $ 表示 $ A $ 在 $ U $ 中的补集，即 $ A^c = { x \in U \mid x \notin A } $。
符号：
$$
A^c = { x \in U \mid x \notin A }
$$
性质：
- $ A^c \cap A = \emptyset $
- $ A \cup A^c = U $
- $ A \cap A^c = \emptyset $
- $ A \cup \emptyset = A $
- $ A \cap U = A $
四、差集（Difference）
定义：
设 $ A $ 和 $ B $ 是两个集合，$ A \setminus B $ 表示所有属于 $ A $ 但不属于 $ B $ 的元素组成的集合。
符号：
$$
A \setminus B = { x \in A \mid x \notin B }
$$
性质：
- $ A \setminus B = B^c \cup (A \cap B^c) $
- $ A \setminus B = A \cap B^c $
- $ A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C) $
五、对称差集（Symmetric Difference）
定义：
设 $ A $ 和 $ B $ 是两个集合，$ A \triangle B $ 表示所有属于 $ A $ 或 $ B $，但不同时属于两者元素的集合。
符号：
$$
A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)
$$
性质：
- $ A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $
- $ A \triangle B = (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) $
六、集合的运算关系
1. 结合律（Associative）
- $ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $
- $ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $
2. 交换律（Commutative）
- $ A \cup B = B \cup A $
- $ A \cap B = B \cap A $
3. 分配律（Distributive）
- $ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $
- $ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $
4. 德摩根律（De Morgan's Laws）
- $ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $
- $ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c $
七、实际应用举例
- 集合的并集：可以用于表示“学生至少参加过一次数学课”。
- 集合的交集：可以用于表示“学生同时参加过数学和物理课”。
- 补集：可以用于表示“不在数学课上的人”。
- 差集：可以用于表示“只参加数学课的人”。
- 对称差集：可以用于表示“参加过数学或物理，但不同时参加两门的人”。
如需进一步学习集合论或应用这些运算在具体问题中的解法，可以告诉我具体问题，我可以帮你分析。