立方差和立方和公式是代数中非常基础且重要的公式，常用于简化计算或分解多项式。以下是它们的公式：
1. 立方和公式
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $$
推导： $$ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) $$ $$ = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 $$
2. 立方差公式
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$
推导： $$ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2) $$ $$ = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 $$
3. 立方和公式（扩展）
对于三个数 $ a, b, c $，有：
$$ a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + 3abc $$
4. 立方差公式（扩展）
对于三个数 $ a, b, c $，有：
$$ a^3 - b^3 - c^3 + 3abc = (a - b - c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac) $$
✅ 总结
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| 立方和 | $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ |
| 立方差 | $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ |
| 三数立方和 | $ a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + 3abc $ |
| 三数立方差 | $ a^3 - b^3 - c^3 + 3abc = (a - b - c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac) $ |
✅ 应用示例
例1：计算 $ 2^3 + 3^3 $
$$ 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35 $$ $$ = (2 + 3)(2^2 - 2 \cdot 3 + 3^2) = 5 \cdot (4 - 6 + 9) = 5 \cdot 7 = 35 $$
如需进一步推导、应用或例题，欢迎继续提问！