我们来计算积分：
$$ \int \sqrt{1 + x^2} \, dx $$
一、方法一：使用三角代换法
这个积分是标准的“根号下 $1 + x^2$”类型，我们使用三角代换法。
设： $$ x = \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dx = \sec^2 \theta \, d\theta $$
代入原式： $$ \sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sec \theta $$
所以原积分变为： $$ \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \sec \theta \cdot \sec^2 \theta \, d\theta = \int \sec^3 \theta \, d\theta $$
二、积分公式
$$ \int \sec^3 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} (\sec \theta \tan \theta + \ln |\sec \theta + \tan \theta|) + C $$
三、代回原变量
由于 $x = \tan \theta$，所以： $$ \sec \theta = \sqrt{1 + x^2}, \quad \tan \theta = x $$
代入上式： $$ \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1 + x^2} + \ln \left| \sqrt{1 + x^2} + x \right| \right) + C $$
四、最终
$$ \boxed{ \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1 + x^2} + \ln \left| \sqrt{1 + x^2} + x \right| \right) + C } $$
这是积分的不定积分结果。