我们来推导两角差的余弦公式，也就是：
$$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $$
一、背景知识：单位圆与三角函数定义
我们使用单位圆（半径为1的圆）来理解三角函数：
- $\cos \theta = x$，$\sin \theta = y$，其中 $(x, y)$ 是单位圆上对应角度 $\theta$ 的点的坐标。
- $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$
二、几何推导（单位圆法）
考虑两个角 $A$ 和 $B$，我们想求 $\cos(A - B)$。
1. 构造一个几何图形
我们可以构造一个三角形，其中：
- 角 $A$ 和角 $B$ 是两个不同的角。
- 用向量或坐标的方式表示点 $A$ 和 $B$ 在单位圆上的位置。
或者，我们考虑单位圆上两个点 $P$ 和 $Q$，分别对应角 $A$ 和 $B$，然后考虑向量 $\vec{OP}$ 和 $\vec{OQ}$ 的差角 $A - B$。
2. 使用向量方法推导
设向量 $\vec{u} = (\cos A, \sin A)$，$\vec{v} = (\cos B, \sin B)$，那么：
$$ \vec{u} - \vec{v} = (\cos A - \cos B, \sin A - \sin B) $$
向量 $\vec{u} - \vec{v}$ 的模长为：
$$ |\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{(\cos A - \cos B)^2 + (\sin A - \sin B)^2} $$
我们计算这个模长的平方：
$$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\cos A - \cos B)^2 + (\sin A - \sin B)^2 $$
展开：
$$ = \cos^2 A - 2 \cos A \cos B + \cos^2 B + \sin^2 A - 2 \sin A \sin B + \sin^2 B $$
$$ = (\cos^2 A + \sin^2 A) + (\cos^2 B + \sin^2 B) - 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) $$
$$ = 1 + 1 - 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) $$
$$ = 2 - 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) $$
所以：
$$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2 - 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) $$
又因为 $\vec{u} - \vec{v}$ 是两个向量之间的差角 $A - B$ 的向量，其模长也等于 $\cos(A - B)$，因此：
$$ \cos(A - B) = \frac{|\vec{u} - \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $$
由于 $|\vec{u}| = |\vec{v}| = 1$，所以：
$$ \cos(A - B) = \cos(A - B) $$
但上面我们已经知道：
$$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $$
三、结论
因此，我们得到：
$$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $$
四、也可以用复数方法推导（更简洁）
设复数 $z_1 = \cos A + i \sin A = e^{iA}$，$z_2 = \cos B + i \sin B = e^{iB}$，则：
$$ z_1 z_2 = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B + i (\cos A \sin B + \sin A \cos B) $$
取实部：
$$ \text{Re}(z_1 z_2) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $$
而 $z_1 z_2 = e^{i(A - B)} = \cos(A - B) + i \sin(A - B)$
所以：
$$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $$
✅ 最终
$$ \boxed{\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B} $$
这是两角差的余弦公式。