在组合数学中，C(n, k) 表示从 n 个元素中取出 k 个元素的组合数，即 组合数，其公式为：
$$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$
其中：
- $ n! $ 表示 $ n $ 的阶乘（即 $ n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 $）
- $ k! $ 表示 $ k $ 的阶乘
- $ (n - k)! $ 表示 $ (n - k) $ 的阶乘
一、C(n, k) 的含义
- C(n, k) 表示从 $ n $ 个不同元素中选出 $ k $ 个的 无序组合（不考虑顺序）
- 例如：从 5 个元素中选 2 个，有 $ C(5, 2) = 10 $ 种组合
二、C(n, k) 的性质
-
对称性：
$$ C(n, k) = C(n, n - k) $$ 例如：$ C(5, 2) = C(5, 3) $ -
递推公式：
$$ C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k) $$ 即：从第 $ n - 1 $ 个元素中选择 $ k - 1 $ 个或 $ k $ 个 -
二项式定理：
$$ (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) x^k $$
三、C(n, k) 的计算示例
| n | k | C(n, k) |
|---|---|---|
| 5 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 5 |
| 5 | 2 | 10 |
| 5 | 3 | 10 |
| 5 | 4 | 5 |
| 5 | 5 | 1 |
四、C(n, k) 的扩展公式
如果 $ k > n $，则 $ C(n, k) = 0 $，因为不可能从 $ n $ 个元素中选出超过 $ n $ 个元素。
五、C(n, k) 的应用
- 组合问题（如选人、选物品）
- 二项式系数（如概率、统计）
- 递归问题（如动态规划）
六、C(n, k) 的计算公式（简写）
$$ C(n, k) = \binom{n}{k} $$
七、C(n, k) 的计算方法（Python 代码）
import math
n = 5
k = 2
print(math.comb(n, k)) # 输出 10八、C(n, k) 的常见值表（n ≤ 10）
| n | k | C(n, k) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 3 |
| 3 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 1 |
| 4 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 4 |
| 4 | 2 | 6 |
| 4 | 3 | 4 |
| 4 | 4 | 1 |
| 5 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 5 |
| 5 | 2 | 10 |
| 5 | 3 | 10 |
| 5 | 4 | 5 |
| 5 | 5 | 1 |
如需计算 $ C(n, k) $ 的具体值，可以使用 Python 的 math.comb(n, k) 函数。
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